Was ist partielle ableitung?

Partielle Ableitung

Die partielle Ableitung ist ein Konzept aus der mehrdimensionalen Analysis, das die Ableitung einer Funktion betrachtet, die von mehreren Variablen abhängt, wobei nur eine dieser Variablen als variabel betrachtet wird, während die anderen konstant gehalten werden. Man untersucht also, wie sich die Funktion verändert, wenn man nur eine der Variablen ändert.

Definition:

Sei f(x₁, x₂, ..., xₙ) eine Funktion von n Variablen. Die partielle Ableitung von f nach der Variablen xᵢ wird geschrieben als ∂f/∂xᵢ (oder auch als f_xᵢ) und ist definiert als:

∂f/∂xᵢ = lim_h→0 [ f(x₁, x₂, ..., xᵢ + h, ..., xₙ) - f(x₁, x₂, ..., xᵢ, ..., xₙ) ] / h

Sofern dieser Grenzwert existiert.

Berechnung:

Um die partielle Ableitung ∂f/∂xᵢ zu berechnen, behandelt man alle Variablen außer xᵢ als Konstanten und leitet die Funktion wie eine Funktion einer einzigen Variablen, nämlich xᵢ, ab.

Beispiele:

• Sei f(x, y) = x² + xy + y³. Dann ist:

  • ∂f/∂x = 2x + y (Hier wird y als Konstante behandelt.)
  • ∂f/∂y = x + 3y² (Hier wird x als Konstante behandelt.)

Anwendungen:

Partielle Ableitungen haben vielfältige Anwendungen, z.B.:

• Optimierung: Finden von Maxima und Minima von Funktionen mehrerer Variablen (siehe Extremwerte).
• Gradient: Der Gradient einer Funktion ist ein Vektor, der aus den partiellen Ableitungen besteht und die Richtung des steilsten Anstiegs angibt (siehe Gradientenfeld).
• Richtungsableitung: Die Richtungsableitung misst die Änderungsrate einer Funktion in einer bestimmten Richtung. Sie wird oft mithilfe des Gradienten und eines Richtungsvektors berechnet (siehe Richtungsableitung).
• Taylor-Reihe: Verallgemeinerung der Taylor-Reihe auf Funktionen mehrerer Variablen (siehe Taylor-Reihe).
• Physik und Ingenieurwesen: Beschreibung von physikalischen Größen, die von mehreren Parametern abhängen, z.B. Temperaturverteilung, Strömungsmechanik.

Höhere Partielle Ableitungen:

Man kann auch partielle Ableitungen höherer Ordnung bilden, indem man die partiellen Ableitungen erneut partiell ableitet. Zum Beispiel:

• ∂²f/∂x² = ∂/∂x (∂f/∂x)
• ∂²f/∂y∂x* = ∂/∂y (∂f/∂x) (gemischte partielle Ableitung)

Satz von Schwarz (Satz über die Gleichheit gemischter Ableitungen):

Unter bestimmten Bedingungen (z.B. Stetigkeit der zweiten partiellen Ableitungen) gilt, dass die Reihenfolge, in der gemischte partielle Ableitungen gebildet werden, keine Rolle spielt:

∂²f/∂y∂x* = ∂²f/∂x∂y*

Zusammenfassend:

Die partielle Ableitung ist ein wichtiges Werkzeug in der mehrdimensionalen Analysis, um das Verhalten von Funktionen mehrerer Variablen zu untersuchen. Sie ermöglicht es, die Abhängigkeit der Funktion von jeder einzelnen Variablen separat zu analysieren.